【題目】在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動點(不與A,B重合),過M點作MN∥BC交AC于點N.以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN.令AM=x.
(1)如圖1、用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S;
(2)如圖2、⊙O與直線BC相切D點,求x的值為多少?
(3)在動點M的運動過程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求x為何值時,y的值最大,最大值是多少?
【答案】(1)s=(0<x<4);(2)x=;(3)當(dāng)x=時,y值最大,最大值是2.
【解析】
(1)由平行易得△AMN∽△ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例可用含x的代數(shù)式表示出AN,MN,結(jié)合矩形的性質(zhì)可求出△MNP的面積;
(2)連接OD,過M點作MQ⊥BC,由兩組對應(yīng)角分別相等的兩個三角形相似可得△BQM∽△BAC,由相似三角形對應(yīng)線段成比例可得x的值;
(3)M點在運動的過程中,P點落在BC上,連接AP,O點就是AP的中點,由△AMO∽△ABP相似的性質(zhì)可得AM=2,分兩種情況討論①當(dāng)0<x≤2時,重合部分的面積即為△MNP的面積,由(1)可得y關(guān)于x的函數(shù)表達式,根據(jù)x的取值范圍確定y最大值即可;②當(dāng)2<x<4時,設(shè)PM交BC于E,PN交BC于F,利用矩形AMPN和平行四邊形MBFN的性質(zhì)可用含x的式子表示出PF,由△PEF∽△ABC的性質(zhì)可得的面積,根據(jù)重合部分的面積可得y關(guān)于x的函數(shù)表達式,結(jié)合函數(shù)表達式與自變量x的取值范圍可得y的最大值.
(1)在三角形ABC中∠A=900,AB=4,AC=3
∴BC=5
∵MN//BC
∴△AMN∽△ABC
∴
即
∴AN=,MN=
又∵AMPN為矩形
所以PM=AN=,PN=AM=x
所以△MNP的面積s=PM×PN×=
即s=(0<x<4)
(2)AM=x,則MB=4-x
如圖,連接OD,D為切點,過M點作MQ⊥BC,Q為垂足;
依題意可得:OD=OM=ON=
∵MN∥BC
∴OD⊥BC,MQ⊥BC
∴MQ=OD=
∵∠A=∠MQB=900,∠B=∠B
∴△BQM∽△BAC
∴
∴BM=
∴x=
所以當(dāng)x=時,⊙O與直線BC相切D點.
(3)M點在運動的過程中,P點落在BC上,如圖
連接AP,O點就是AP的中點.
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABP
∴
∴AM=2
故分兩種情況討論:
①當(dāng)0<x≤2時
△MNP與梯形BCNM重合的面積
當(dāng)x=2時,y有最大值y=
②當(dāng)2<x<4時,如圖
設(shè)PM交BC于E,PN交BC于F
AM=x,則MB=4-x
∵四邊形AMPN是矩形,
∴PN∥AM,PN=AM=x
又∵MN∥BC
∴四邊形MBFN是平行四邊形
又∵△PEF∽△ABC
∴
S△PEF=
=
∴當(dāng)x=時,滿足2<x<4,y有最大值,y=2
綜上所述,當(dāng)x=,y值最大,最大值是2.
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【題目】小左同學(xué)想利用影長測量學(xué)校旗桿的高度,如圖,她在某一時刻立一長度為1米的標(biāo)桿,測得其影長為米,同時旗桿投影的一部分在地上,另一部分在某一建筑物的墻上,測得旗桿與建筑物的距離為10米,旗桿在墻上的影高為2米,請幫小左同學(xué)算出學(xué)校旗桿的高度.
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【題目】已知平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖1),一次函數(shù)的圖像與y軸交于點A,點M在正比例函數(shù)的圖像上,且MO=MA.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A、M.
(1)求線段AM的長;
(2)求這個二次函數(shù)的解析式;
(3)如果點B在y軸上,且位于點A下方,點C在上述二次函數(shù)的圖像上,點D在一次函數(shù)的圖像上,且四邊形ABCD是菱形,求點C的坐標(biāo).
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④<a<⑤b>c.其中含所有正確結(jié)論的選項是( )
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
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【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點,與軸交于點,拋物線的對稱軸為直線,交拋物線于點,交軸于點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點、點的坐標(biāo);
(2)拋物線對稱軸上的一動點從點出發(fā),以每秒1個單位的速度向上運動,連接,,設(shè)運動時間為秒(),在點的運動過程中,請求出:當(dāng)為何值時,?
(3)若點在拋物線上、兩點之間運動(點不與點、重合),在運動過程中,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求為何值時有最大值,最大值是多少?
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【題目】綜合與探究:
如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與反比例函數(shù)的圖象交于,兩點,過點作軸于點,過點作軸于點.
(1)求,的值及反比例函數(shù)的函數(shù)表達式;
(2)若點在線段上,且,請求出此時點的坐標(biāo);
(3)小穎在探索中發(fā)現(xiàn):在軸正半軸上存在點,使得是以為頂角的等腰三角形.請你直接寫出點的坐標(biāo).
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【題目】如圖,△ABC中,D為邊AB上一點,E是CD的中點,且∠ACD=∠ABE.已知AC=2,設(shè)AB=x,AD=y,則y與x滿足的關(guān)系式為( 。
A.xy=4B.2xy﹣y2=4C.xy﹣y2=4D.x2+xy﹣2y2=4
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【題目】在△ABC中,若O為BC邊的中點,則必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論,解決如下問題:如圖,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運動,則PF2+PG2的最小值為( )
A. B. C. 34 D. 10
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【題目】在一個不透明的小布袋中裝有4個質(zhì)地、大小完全相同的小球,它們分別標(biāo)有數(shù)字0,1,2,3,小明從布袋里隨機摸出一個小球,記下數(shù)字為,小紅在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球,記下數(shù)字為,這樣確定了點的坐標(biāo).
(1)畫樹狀圖或列表,寫出點所有可能的坐標(biāo);
(2)小明和小紅約定做一個游戲,其規(guī)則為:若在第一象限,則小明勝;否則,小紅勝;這個游戲公平嗎?請你作出判斷并說明理由.
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