Question

設(shè)M=3ⁿ+2×17ⁿ，其中n為正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A、有且只有一個(gè)n，使得M為完全平方數(shù)
• B、存在多于一個(gè)的有限個(gè)n，使得M為完全平方數(shù)
• C、存在無數(shù)個(gè)n，使得M為完全平方數(shù)
• D、不存在n，使得M為完全平方數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：完全平方數(shù)

專題：計(jì)算題

分析：先計(jì)算可得n=1，2，3，4時(shí)，3ⁿ的尾數(shù)分別為：3，9，7，1；17ⁿ的尾數(shù)分別為：7，9，3，1，可得到2×17ⁿ的尾數(shù)分別為4，8，6，2，則可得到M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾數(shù)分別為7，7，3，3．并且3ⁿ的尾數(shù)為3，9，7，1的循環(huán)；17ⁿ的尾數(shù)為7，9，3，1的循環(huán)，2×17ⁿ的尾數(shù)為4，8，6，2的循環(huán)，由此得M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾數(shù)總是7，7，3，3的循環(huán)．根據(jù)個(gè)完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9可判斷M=3ⁿ+2×17ⁿ不能為完全平方數(shù)．

解答：解：∵n為正整數(shù)，
∴n=1，2，3，4時(shí)，3ⁿ的尾數(shù)分別為：3，9，7，1；17ⁿ的尾數(shù)分別為：7，9，3，1，
則2×17ⁿ的尾數(shù)分別為4，8，6，2；
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾數(shù)分別為7，7，3，3．
當(dāng)n依次取大于4的整數(shù)時(shí)，3ⁿ的尾數(shù)為3，9，7，1的循環(huán)；17ⁿ的尾數(shù)為7，9，3，1的循環(huán)，2×17ⁿ的尾數(shù)為4，8，6，2的循環(huán)；
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾數(shù)總是7，7，3，3的循環(huán)．
又∵一個(gè)完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9，
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ不能為完全平方數(shù)．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了完全平方數(shù)：一個(gè)完全平方數(shù)的尾數(shù)只可能為0，1，4，5，6，9．