Question

如圖，直線y₁=

4

3

x與雙曲線y₂=

k

x

（x＞0）交于點A，將直線y₁=

4

3

x向下平移4個單位后稱該直線為y₃，若y₃與雙曲線交于B，與x軸交于C，與y軸交于D，AO=2BC，連接AB，則以下結論錯誤的有（　　）
①點C坐標為（3，0）；②k=

16

3

；③S_{四邊形OCBA}=

27

4

；
④當2＜x＜4時，有y₁＞y₂＞y₃；⑤S_{四邊形ABDO}=2S_△COD．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，由y₁=

4

3

x向下平移4個單位得到直線BC的解析式為y₃=

4

3

x-4，然后把y=0代入確定C點坐標，即可判斷①；作AE⊥x軸于E點，BF⊥x軸于F點，易證得Rt△OAE∽△RtCBF，則

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，若設A點坐標為（a，

4

3

a），則CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，得到B點坐標（3+

1

2

a，

2

3

a），然后根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標特征得a•

4

3

a=（3+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=2，于是可確定點A點坐標為（2，

8

3

），再將A點坐標代入y₂=

k

x

，求出k的值，即可判斷②；根據(jù)S_{四邊形OCBA}=S_△OAE+S_梯形AEFB-S_△BCF，求出S_{四邊形OCBA}，即可判斷③；根據(jù)圖象得出當2＜x＜4時，直線y₁在雙曲線y₂的上方，雙曲線y₂又在直線y₃的上方，即可判斷④；先根據(jù)三角形面積公式求出S_△COD=

1

2

×3×4=6，再由S_{四邊形ABDO}=S_{四邊形OCBA}+S_△OCD，得出S_{四邊形ABDO}=12，即可判斷⑤．

解答：解：①∵將直線y₁=

4

3

x向下平移4個單位后稱該直線為y₃，y₃與雙曲線交于B，與x軸交于C，
∴直線BC的解析式為y₃=

4

3

x-4，
把y=0代入得

4

3

x-4=0，解得x=3，
∴C點坐標為（3，0），故本結論正確；
②作AE⊥x軸于E點，BF⊥x軸于F點，如圖，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，
設A點坐標為（a，

4

3

a），則OE=a，AE=

4

3

a，
∴CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，
∴OF=OC+CF=3+

1

2

a，
∴B點坐標為（3+

1

2

a，

2

3

a），
∵點A與點B都在y₂=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴a•

4

3

a=（3+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=2，
∴點A的坐標為（2，

8

3

），
把A（2，

8

3

）代入y=

k

x

，
得k=2×

8

3

=

16

3

，故本結論正確；
③∵A（2，

8

3

），B（4，

4

3

），CF=

1

2

a=1，
∴S_{四邊形OCBA}=S_△OAE+S_梯形AEFB-S_△BCF
=

1

2

×2×

8

3

+

1

2

×（

8

3

+

4

3

）×2-

1

2

×1×

4

3

=

8

3

+4-

2

3

=6，故本結論錯誤；
④由圖象可知，當2＜x＜4時，有y₁＞y₂＞y₃，故本結論正確；
⑤∵S_△COD=

1

2

×3×4=6，S_{四邊形ABDO}=S_{四邊形OCBA}+S_△OCD=6+6=12，
∴S_{四邊形ABDO}=2S_△COD，故本結論正確．
故選A．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了相似三角形的判定與性質，圖形的面積以及一次函數(shù)圖象的平移問題．