Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（m-2）x+m²=0，問：
（1）若方程有實(shí)根，求m的取值范圍；
（2）是否存在m的值，使方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）利用根的判別式建立不等式，求得m的取值范圍即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得方程兩根的和與兩根的積，兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積表示，根據(jù)方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于56，即可得到一個關(guān)于m的方程，求得m的值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-2（m-2）x+m²=0，有實(shí)數(shù)根，
∴△=[-2（m-2）]²-4m²≥0，
解得：m≤1；
（2）設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，
則x₁+x₂=2（m-2），x₁×x₂=m²，
令x₁²+x₂²=56得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-2）²-2m²=56，
解這個方程得，m=10或m=-2，
當(dāng)m=10時，△＜0，所以不合題意，應(yīng)舍去，
當(dāng)m=-2時，△＞0，
所以存在實(shí)數(shù)m=-2，使得方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于56．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判別式．