Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且AB²=AD•AC，AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E，過(guò)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，若BE=5，則CF的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：如圖作輔助線：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)F作FN于N．則由角平分線的性質(zhì)證得ME=GE；根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形EGNF是平行四邊形，所以GE=NF．通過(guò)證明△BEM≌△CFN得到CF=BE．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，作EG⊥AC于G，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于N，則EG∥FN，
∵AE平分∠BAC，EF∥AC
∴ME=GE，四邊形EGNF是平行四邊形，
∴GE=NF，
∴ME=NF．
又∵AB²=AD•AC，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴∠ABD=∠ACB，即∠MBE=∠NCF，
∴在△BEM與△CFN中，

∠MBE=∠NCF ∠BME=∠CNF ME=NF

，
∴△BEM≌△CFN（AAS），
∴CF=BE=5．
故填：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件．