Question

如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=

m

x

交于點(diǎn)A（-1，-5）、D（5，1），并分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、B．
（1）求出k、b、m的值；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式kx+b＜

m

x

的解集為

 

；
（3）若點(diǎn)E在x軸的正半軸上，是否存在以點(diǎn)E、C、B構(gòu)成的三角形與△OAB相似？若存在，請求出E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）不等式的解就是對相同的x的值，反比例函數(shù)的圖象在上邊的部分，對應(yīng)的x的范圍；
（3）求得△OAB的邊長，點(diǎn)E在x軸的正半軸上，可以分E在線段OC上（不在O點(diǎn)）或線段OC的延長線上兩種情況討論，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（-1，-5）、D（5，1）代入y=kx+b得

-k+b=-5 5k+b=1

，
解得：

k=1 b=-4

．
把點(diǎn)D（5，1）代入y=

m

x

，得m=5；
（2）x＜-1或0＜x＜5；
（3）OA=

12+52

=

26

，
在y=x-4中，令x=0，解得y=-4，則B的坐標(biāo)是（0，-4）．
令y=0，解得：x=4，則C的坐標(biāo)是（4，0）．
故OB=4，AB=

12+(5-4)2

=

2

，BC=4

2

，OC=4．
∴OB=OC，即△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，∠BCE=135°．
過A作AF⊥y軸于點(diǎn)F．則△ABF是等腰直角△，∠ABF=45°，∠ABO=135°．
1）當(dāng)E在線段OC（不與O重合）上時，兩個三角形一定不能相似；
2）當(dāng)E在線段OC的延長線上時，設(shè)D的坐標(biāo)是（x，0），則CE=x-4，
∠ABO=∠BCE=135°，
當(dāng)△AOB∽△EBC時，

OB

CB

=

AB

EC

，即

4

4 2

=

2

x-4

，
解得：x=6，
則E的坐標(biāo)是（6，0）；
當(dāng)△AOB∽△BEC時，

OB

EC

=

AB

BC

，即

x

x-4

=

2

4 2

，
解得：x=20，
則E的坐標(biāo)是（20，0）．
則E的坐標(biāo)是（6，0）或（20，0）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)與相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意到∠ABO=∠BCE=135°是本題的關(guān)鍵．