Question

如圖1，Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，點P以2cm/s的速度從A處沿AB方向勻速運動，點Q以1cm/s的速度從C處沿CA方向勻速運動．連接PQ，若設(shè)運動的時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）當t為何值時，△APQ與△ABC相似？
（2）設(shè)四邊形BCQP的面積為y，求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求當t為何值時，y的值最小，寫出最小值；
（3）如圖2，將△APQ沿AP翻折，使點Q落在Q′處，連接AQ′，PQ′，若四邊形AQPQ′是平行四邊形，求t的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）首先在Rt△ABC中利用勾股定理求得AB=10cm；然后由相似三角形的對應邊成比例求得t的值．在△APQ與△ABC中，由一個公共角，所以分兩種情況進行討論：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB；
（2）如答圖2，過點Q作QD⊥AP，垂足為D．構(gòu)建相似三角形：Rt△ADQ∽Rt△ACB，根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例得到：QD=

AQ•BC

AB

=

4

5

（6-t）．結(jié)合圖形知道
y=S_△ABC-S_△APQ，由此列出y關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答；
（3）若四邊形AQPQ′是平行四邊形，則四邊形AQPQ′一定是菱形．如答圖3，連接QQ′交AP于點E．由“菱形的對角線互相垂直且平分”和相似三角形的判定推知
Rt△AEQ∽Rt△ACB，所以根據(jù)該相似三角形的對應邊成比例來求相應的t的值．

解答：解：（1）當t=

30

11

或t=

18

13

時，△APQ與△ABC相似．理由如下：
∵如答圖1，Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理知 AB=

AC2+BC2

=10cm．
由題意知，CQ=t，AQ=6-t，AP=2t．
若△APQ與△ABC相似時，分兩種情況：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB．
①當△APQ∽△ABC時，

AP

AB

=

AQ

AC

，即

2t

10

=

6-t

6

，
解得 t=

30

11

；
②當△APQ∽△ACB時，

AP

AC

=

AQ

AB

，即

2t

6

=

6-t

10

，
解得 t=

18

13

．
綜上所述，當t=

30

11

或t=

18

13

時，△APQ與△ABC相似；

（2）如答圖2，過點Q作QD⊥AP，垂足為D．
∵∠A=∠A，AC⊥BC，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴

AQ

AB

=

QD

BC

，
∴QD=

AQ•BC

AB

=

4

5

（6-t）．
由題意得：y=S_△ABC-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•QD=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵

4

5

＞0，
∴該拋物線的開口方向向上，該函數(shù)有最小值，
又∵0＜t＜5，
∴當t=3時，y_最小=

84

5

．
即：當t=3時，y的值最小，其最小值為

84

5

；

（3）由題意得，若四邊形AQPQ′是平行四邊形，則四邊形AQPQ′一定是菱形．
如答圖3，連接QQ′交AP于點E，則QQ′⊥AP，且QQ′與AP互相平分．
∵由（2）得QE=QD=

4

5

（6-t），AE=

1

2

AP=t，且Rt△AEQ∽Rt△ACB，
∴

AE

AC

=

QE

CB

，即

t

6

=

4 5 (6-t)

8

，
解得 t=

9

4

．

點評：本題考查了相似綜合題．對于兩個相似三角形，沒有指出對應角（或?qū)�應邊）時，一定要分類討論．一般情況下，分三種情況進行討論，不過在本題中，由于在△APQ與△ABC中，由一個公共角，所以分兩種情況進行討論：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB；另外，在解答（2）時，通過配方法來求二次函數(shù)的最值的．