Question

在△ABC中，AB=2

5

，AC=4，BC=2，以AB為邊在△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形．

（1）如圖，延長CB，過點D作DE⊥CB于點E，請寫出圖中的一對全等三角形，并求線段CD的長．
（2）以AB為邊向外作的等腰直角三角形△ABD還有其他作法嗎？如果有，請在備用圖中畫出圖形，并求線段CD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據題意中的△ABD為等腰直角三角形，∠ABD=90°，然后巧妙構造輔助線，出現全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理進行求解．
（2）除去（1）的這種情況，還有兩種情況：∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后構造輔助線，出現全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理進行求解．

解答：解：（1）如圖1，△ACB≌△BED；
∵AC=4，BC=2，AB=2

5

，
∴AC²+BC²=AB²，!
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°，
延長CB，過點D作DE⊥CB于點E，
∵DE⊥CB，
∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∴∠CAB=∠EBD，
在△ACB與△BED中，

∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD

，
∴△ACB≌△BED（AAS），
∴BE=AC=4，DE=CB=2，
∴CE=6，
根據勾股定理得：CD=2

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；

（2）還有兩種，
如圖2，過點D作DE⊥CA，垂足為點E．
∵BC⊥CA，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠CAB+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在△ACB與△DEA中，

∠ACB=∠DEA ∠CAB=∠EDA AB=DA

，
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2，
∴CE=6，
根據勾股定理得：CD=2

13

；
如圖3，過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠EBD+∠DAF=90°，
∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DBE=∠ADF，
∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，
∴△AFD≌△DEB，易求CD=3

2

．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．