Question

（2005•河南）如圖1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點M在邊AB上，且AM=6．
（1）動點D在邊AC上運動，且與點A，C均不重合，設CD=x．
①設△ABC與△ADM的面積之比為y，求y與x之間的函數關系式（寫出自變量的取值范圍）；
②當x取何值時，△ADM是等腰三角形？寫出你的理由．
（2）如圖2，以圖1中的為一組鄰邊的矩形中，動點在矩形邊上運動一周，能使是M為頂角的等腰三角形共有多少個？（直接寫結果，不要求說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC的面積易求，△ADM的面積應利用相似比表示出AD及AD邊上的高，然后求出面積比值，△ADM是等腰三角形，兩腰是不確定的，所以應分AM=DM，AM=AD，DM=AD來分別討論；
（2）M為頂角，那么AM=DM，只需作出M為圓心，MA=6為半徑的圓，看與矩形有幾個交點即可．
解答：解：（1）①∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴S_△ABC=30，AB=13，
過M作MH⊥AC于H，則MH∥BC，
∴，
∴MH=，
∵CD=x，
∴AD=12-x，
∴S_△ADM=（12-x），
∴y=（0＜x＜12）；

②（i）當AD=AM=6，即x=6時，△ADM為等腰三角形；
（ii）當AM=MD時，AD=2AH．
∴AH==，
∴AD=，
即x=12-=時，△ADM為等腰三角形；
（iii）當AD=MD時，
∵AD=12-x，AH=，
∴HD=-（12-x）=x-，
∵MH²+HD²=MD²，
∴（）²+（x-）²=（12-x）²，
解得：x=時，△ADM為等腰三角形．

（2）4個．
（根據題意，以M為圓心，MA=6為半徑作圓，與AC、AE、BE三邊共有包括A點在內的5個交點，所以符合條件的等腰三角形共有4個）
點評：一個三角形是等腰三角形，可讓其任意兩條邊相等分3種情況探討；確定頂角的等腰三角形，相應的腰長也就確定，注意動手操作即可得到答案．