Question

如圖，一次函數(shù)y=-

4

3

x+4的圖象分別與x軸，y軸的正半軸交于點(diǎn)E、F，一次函數(shù)y=kx-4的圖象與直線EF交于點(diǎn)A（m，2），且交于x軸于點(diǎn)P，
（1）求m的值及點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）求△APE的面積；
（3）若B點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，問在直線EF上，是否存在點(diǎn)Q（Q與A不重合），使△BEQ與△APE全等？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AP的解析式，根據(jù)函數(shù)值為零，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)全等三角形的面積相等，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；②當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=-

4

3

x+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，2），
得-

4

3

m+4=2，
解得m=

3

2

，
∵一次函數(shù)y=-

4

3

x+4的圖象分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
∴當(dāng)y=0時(shí)，-

4

3

x+4=0，解得x=3即E（3，0）；
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即F（0，4）；
（2）把點(diǎn)A（

3

2

，2）一次函數(shù)y=kx-4，得2=

3

2

k-4，解得k=4，
y=4x-4，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即P（1，0）．
PE=3-1=2，
S_△APE=

1

2

×2×2=2；
（3）存在Q點(diǎn)，B點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=-

4

3

x+4上的點(diǎn)，設(shè)Q（m，n）．
由兩點(diǎn)間的距離，得AE=

(3- 3 2 )2+22

=

5

2

，AP=

(1- 3 2 )2+22

=

17

2

，PE=2．
①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，
∵△APE≌△BQE，
∴S△_BQE=S△_APE=2，
∴

1

2

BE×|n|=2．
∵BE=AE=

5

2

，
∴|n|=

8

5

，n=±

8

5

．
當(dāng)n=

8

5

時(shí)，-

4

3

x+4=

8

5

，解得m=

9

5

，即Q₁（

9

5

，

8

5

）；
當(dāng)n=-

8

5

時(shí)，-

4

3

x+4=-

8

5

，解得m=

21

5

，即Q₂（

21

5

，-

8

5

）；
②當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，∵△APE≌△QBE，
則n=-2，把n=-2代入y=-

4

3

x+4得m=-

9

2

，
∴Q₃（

9

2

，-2），
綜上所述：Q₁（

9

5

，

8

5

），Q₂（

21

5

，-

8

5

），Q₃（

9

2

，-2）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，（2）利用了三角形的面積公式，（3）利用了分類討論的方法，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．