【題目】如圖,E、F是ABCD對角線AC上兩點(diǎn),且AE=CF.
(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形.
(2)如果把條件AE=CF改為BE⊥AC,DF⊥AC,試問四邊形BFDE是平行四邊形嗎?為什么?
(3)如果把條件AE=CF改為BE=DF,試問四邊形BFDE還是平行四邊形嗎?為什么?

【答案】
(1)證明:證法一:∵ABCD是平行四邊形

∴AB=CD 且AB∥CD(平行四邊形的對邊平行且相等)

∴∠BAE=∠DCF

又∵AE=CF

∴△BAE≌△DCF(SAS)

∴BE=DF,∠AEB=∠CFD

∴∠BEF=180°﹣∠AEB∠DFE=180°﹣∠CFD

即:∠BEF=∠DFE

∴BE∥DF,而BE=DF

∴四邊形BFDE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

證法二:連接BD,交AC于點(diǎn)O.

∵ABCD是平行四邊形

∴OA=OC OB=OD(平行四邊形的對角線互相平分)

又∵AE=CF

∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF

∴四邊形BFDE是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)


(2)解:四邊形BFDE是平行四邊形

∵ABCD是平行四邊形

∴AB=CD 且AB∥CD(平行四邊形的對邊平行且相等)

∴∠BAE=∠DCF

∵BE⊥AC,DF⊥AC

∴∠BEA=∠DFC=90°,BE∥DF

∴△BAE≌△DCF(AAS)

∴BE=DF

∴四邊形BFDE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)


(3)解:四邊形BFDE不是平行四邊形

因?yàn)榘褩l件AE=CF改為BE=DF后,不能證明△BAE與△DCF全等


【解析】(1)方法一:證明△BAE≌△DCF,推出BE=DF,BE∥DF即可.方法二:連接BD,交AC于點(diǎn)O.只要證明OE=OF,OB=OD即可;(2)是平行四邊形.只要證明△BAE≌△DCF即可解決問題;(3)四邊形BFDE不是平行四邊形.因?yàn)榘褩l件AE=CF改為BE=DF后,不能證明△BAE與△DCF全等;
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn),并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積.

練習(xí)冊系列答案
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(2)設(shè)對稱軸右側(cè)軸上方的圖象上任一點(diǎn)為,在軸上有一點(diǎn),試比較銳角的大。ú槐刈C明),并寫出相應(yīng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍;

(3)直線與拋物線另一點(diǎn)記為,為線段上一動點(diǎn)(點(diǎn)不與重合).設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,過軸于點(diǎn),將以點(diǎn),為頂點(diǎn)的四邊形的面積表示為的函數(shù),標(biāo)出自變量的取值范圍,并求出可能取得的最大值.

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