Question

如圖，△ABC中，AB=4，D在AB邊上移動（不與A，B重合），DE∥BC交AC于E，連結(jié)CD，設(shè)S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）當D為AB中點時，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，

S1

S

=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出△ADE和△CDE的面積相等，再根據(jù)平行線得出△ADE∽△ABC，推出

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2，把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出

S△ADE

S△ABC

=

1

16

x²①，

S△ADE

S△DEC

=

AE

EC

=

x

4-x

②，①÷②即可得出答案．

解答：解：（1）∵D為AB中點，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=(

1

2

)2=

1

4

，
∴S₁：S=1：4；

（2）∵AB=4，AD=x，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

AD

AB

)2=（

x

4

）²，
∴

S△ADE

S△ABC

=

1

16

x²，①
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

，
∵AB=4，AD=x，
∴

AE

AC

=

x

4

，
∴

AE

EC

=

x

4-x

∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，
∴

S△ADE

S△DEC

=

AE

EC

=

x

4-x

②，
①÷②得：
∴y=

S1

S

=-

1

16

x²+

1

4

x，
∵AB=4，
∴x的取值范圍是0＜x＜4．

點評：本題考查了平行的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．