Question

拋物線y=

3

4

x²+

9

4

x-3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在左邊，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、F、P為頂點(diǎn)，且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：本題應(yīng)分情況討論：
①過C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，此時P、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②將AC平移，令C點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、A點(diǎn)落在拋物線（即P點(diǎn)）上；可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)（P、C縱坐標(biāo)的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：如圖所示，
①過點(diǎn)C作CP₁∥x軸交拋物線于點(diǎn)P₁，過點(diǎn)P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點(diǎn)E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P₁（x，-3）
∴

3

4

x²+

9

4

x-3=0，
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P（x，3），
∴

3

4

x²+

9

4

x-3=3，
x²+3x-8=0
解得x=

-3+ 41

2

或x=

-3- 41

2

，
此時存在點(diǎn)P₂（

-3+ 41

2

，3）和P₃（

-3- 41

2

，3），
綜上所述存在3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P₁（-3，-3），P₂（

-3+ 41

2

，3）和P₃（

-3- 41

2

，3）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．