Question

設二次函數y=ax²+bx+c的圖象的對稱軸是2x-3=0，在x軸的截距的倒數和為2，且經過點（3，-3）．
（1）試求a、b、c的值；
（2）若y＞1或y＜-3，求x的取值范圍；
（3）當x為何值時，y有最大值？并求最大值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數的最值,二次函數與不等式（組）

專題：

分析：（1）根據拋物線與x軸的交點坐標和對稱軸方程來求系數的值；
（2）根據（1）中的函數解析式列出關于x的不等式，通過解不等式來求x的值；
（3）把拋物線解析式轉化為頂點式方程，根據方程式直接寫出答案．

解答：解：（1）設該拋物線與x軸的交點橫坐標是a、b．
則依題意得

1 a + 1 b =2 - b 2a = 3 2 9a+3b+c=-3

，即

- b a c a =2 - b 2a = 3 2 9a+3b+c=-3

解得=

a=-2 b=6 c=-3

．
則該拋物線的解析式為：y=-2x²+6x-3；

（2）解：由（1）知，該拋物線的解析式為：y=-2x²+6x-3．
①當y＞1時，-2x²+6x-3＞1，即x²-3x+2＜0，
整理，得
（x-1）（x-2）＜0，
解得 1＜x＜2
②當y＜3時，-2x²+6x-3＜-3，
整理，得
x（x-3）＞0，
解得 x＜0 或x＞3；

（3）y=-2x²+6x-3=-2（x-

3

2

）²+

3

2

當x-

3

2

=0 即x=

3

2

時，y_最大值=

3

2

．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點坐標，解答該題時，也可以根據函數圖象來解答（2）、（3）題．