Question

已知：如圖，點(diǎn)A、B、C為⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，∠CBA=∠CDA=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理由∠CBA=30°，得出∠O=2∠B=60°，進(jìn)而得出∠CDA+∠O=90°，即∠OAD=90°問題得證．
（2）利用垂徑定理得出AM=BM，進(jìn)而得出AM，CM的長(zhǎng)，再利用tan30°=

AM

DM

，即可得出DM的長(zhǎng)，即可求出CD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B是

AC

所對(duì)的圓周角，∠O是

AC

所對(duì)的圓心角，
∠CBA=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠CDA=30°，
∴∠CDA+∠O=90°．
∴∠OAD=90°．
∴OA⊥AD．
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線，

（2）解：∵OD⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵∠B=30°，BC=5，
∴CM=

5

2

，BM=

5 3

2

．
∴AM=

5 3

2

．
在Rt△MAD中，
∵∠CDA=30°，
∴tan30°=

AM

DM

=

5 3 2

DM

=

3

3

．
解得：DM=

5 3

2

×

3

=

15

2

．
∴CD=DM-CM=

15

2

-

5

2

=5．
∴CD=5．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及解直角三角形和勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理得出AM，CM，以及利用銳角三角函數(shù)求出DM的長(zhǎng)．