Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，交AB于點(diǎn)F，與BC相切于點(diǎn)E．點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD、OE、AE．
（1）求證：AD∥OE；
（2）若∠B=30°時(shí)，求∠DAE的度數(shù)；
（3）當(dāng)BC=16，AD=6時(shí)，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由切線的性質(zhì)得到OE⊥BC；由等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，即可解決問題．
（2）首先證明∠DAB=60°，進(jìn)而證明∠DAE=∠OAE，即可解決問題．
（3）運(yùn)用勾股定理求出AB的長；證明△BOE∽△BAD，列出關(guān)于半徑的比例式即可解決問題．

解答：解：（1）∵⊙O與BC相切，
∴OE⊥BC；
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD∥OE．
（2）∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=60°；
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，而AD∥OE，
∴∠DAE=∠OEA，
∴∠DAE=∠OAE=30°，
∴∠DEA=60°．
（3）BD=

1

2

×BC=8；
由勾股定理得：AB²=AD²+BD²，
而AD=6，BD=8，
∴AB=10；設(shè)⊙O的半徑為λ，
則BO=10-λ；
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BAD，
∴

10-λ

10

=

λ

6

，
解得：λ=

15

4

，
即⊙O的半徑為

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；同時(shí)還滲透了對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的考查；靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．