Question

如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求證：
（1）AC-BE=AE；
（2）AC=2BD．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，易得∠EBC=∠C，即可證得BE=CE，繼而可得AC-BE=AE；
（2）首先延長BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，繼而證得AE=EN，則可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠EBC=∠C，
∴BE=CE，
∴AC-BE=AC-CE=AE；

（2）延長BD至N，使DN=BD，連接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN=∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．