Question

【題目】如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對角線，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝．則tan∠DBC的值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)tan∠BAC＝，得出∠BAC的度數(shù)，則在Rt△ACB中，設(shè)BC＝1，則AC＝；證明△CAD為等邊三角形，過點(diǎn)D作DE⊥CA，交CA于點(diǎn)E，設(shè)CA與BD交于點(diǎn)F，則DE∥BC，從而∠DBC＝∠FDE，設(shè)CF＝x，則EF＝﹣x，根據(jù)tan∠DBC＝tan∠FDE列出關(guān)于x的方程，解得x值，則可求得tan∠DBC的值．

∵tan∠BAC＝，

∴∠BAC＝30°，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∴設(shè)BC＝1，則AC＝，

∵AB⊥AD，

∴∠BAD＝90°，

∴∠DAC＝60°，

∵CA＝CD，

∴△CAD為等邊三角形，

過點(diǎn)D作DE⊥CA，交CA于點(diǎn)E，設(shè)CA與BD交于點(diǎn)F，如圖，

則有：CE＝AC＝，DE＝ADsin60°＝×＝，

設(shè)CF＝x，則EF＝﹣x，

∵AC⊥BC，DE⊥CA，

∴DE∥BC，

∴∠DBC＝∠FDE，

∴tan∠DBC＝tan∠FDE，

∴

∴＝，

解得：x＝，

∴tan∠DBC＝＝．

故選：D．