Question

【題目】已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2﹣2ax）ex ．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，f（x）取得最小值？證明你的結(jié)論；
（2）設(shè)f（x）在[﹣1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令f'（x）=0即[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex=0∴x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=0

∵△=[2（a﹣1）]2+8a=4（a2+1）＞0∴x1=a﹣1﹣ ，x2=a﹣1+

又∵當(dāng)x∈（﹣∞，a﹣1﹣ ）時(shí)，f'（x）＞0；

當(dāng)x∈（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）時(shí)，f'（x）＜0；

當(dāng)x∈（a﹣1+ ，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．

列表如下：

x	（﹣∞，a﹣1﹣ ）	a﹣1﹣	（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）	a﹣1+	（a﹣1+ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴x1，x2分別為f（x）的極大值與極小值點(diǎn)．

又∵ f（x）=0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．

而f（a﹣1+ ）=2（1﹣ ） ＜0．

∴當(dāng)x=a﹣1+ 時(shí)，f（x）取得最小值．

（2）解：f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)，則f'（x）≥0（或≤0）在[﹣1，1]上恒成立．

而f'（x）=[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex，令g（x）=x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=[x（a﹣1）]2﹣（a2+1）．

∴f'（x）≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）．

當(dāng)g（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立時(shí)，有

①當(dāng)﹣1≤a﹣1≤1即0≤a≤2時(shí)，g（x）min=g（a﹣1）=﹣（a2+1）≥0（舍）；

②當(dāng)a﹣1＞1即a≥2時(shí)，g（x）min=g（1）=3﹣4a≥0∴a≤ （舍）．

當(dāng)g（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立時(shí)，有

①當(dāng)﹣1≤a﹣1≤0即0≤a≤1時(shí)，g（x）max=g（1）=3﹣4a≤0，∴ ≤a≤1；

②當(dāng)0＜a﹣1≤1即1＜a≤2時(shí)，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴1＜a≤2；

③當(dāng)1＜a﹣1即a＞2時(shí)，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴a＞2．

故a∈[ ，+∞）．

【解析】（1）直接求兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)函數(shù)，令其等于0，求出極值點(diǎn)，判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值；（2）f（x）在[﹣1，1]上是單調(diào)函數(shù)，即其導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或小于等于零，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)的方法即可解決．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集．