Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= + （1﹣a2）x2﹣ax，其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為8x+y﹣2=0，求a的值；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（3）若a=1，存在實(shí)數(shù)m，使得方程f（x）=m恰好有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a，由8x+y﹣2=0可得f'（1）=﹣8，

即f'（1）=a+（1﹣a2）﹣a=﹣8，解得a=±3，

當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f（1）=﹣6，f'（x）=3x2﹣8x﹣3，f'（1）=﹣8，

當(dāng)a=﹣3時(shí)，f（x）=﹣x3﹣4x2+3，f（1）=﹣2，f'（x）=﹣3x2﹣8x+3，f'（1）=﹣8，

故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+2=﹣8（x﹣1），即8x+y﹣6=0不符合題意，舍去，

故a的值為3

（2）解：當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a=（x﹣a）（ax+1）=a（x﹣a）（x+ ），

當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，則

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

函數(shù)f（x）在 處取得最大值 ，且 ．

函數(shù)f（x）在x2=a處取得極小值f（a），且 ，

當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，則 ，

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a）	a	（a，﹣ ）	﹣	（﹣ ，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ，

函數(shù)f（x）在 處取得極大值 ，

且 ．

函數(shù)f（x）在x2=a處取得極小值f（a），且

（3）解：若a=1，則 ，

由（2）可知 在區(qū)間（﹣∞，﹣1），（1，+∞）內(nèi)增函數(shù)，在區(qū)間（﹣1，1）內(nèi)為減函數(shù)，

函數(shù)f（x）在x1=1處取的極小值f（1），且 ．

函數(shù)f（x）在x2=﹣1處取得極大值f（﹣1），且 ．

如圖分別作出函數(shù) 與y=m的圖象，

從圖象上可以看出當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程f（x）=m有三個(gè)不同的解，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．

【解析】（1）求導(dǎo)，由f'（1）=﹣8，求得a的值，分別求得切線方程，與原切線方程比較，即可求得a的值；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，即可求得函數(shù)f（x）（x＞0）的單調(diào)區(qū)間與極值；（3）由（2）可知：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的極值，分別作出函數(shù) 與y=m的圖象，從圖象上可以看出當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求得m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．