Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0），（3，

3

），（1，

3

），點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別
（m，

3

m），（n，

3

3

n）（m、n為非負(fù)數(shù)），則CE+DE+DB的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：連接AC，OC，OB，作B關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，交OC于D，交OB于E，此時(shí)CE+DE+BD的值最小，求出CE+DE+BD=AE′，求出∠E′BA=90°，BF=EF′=

3

，AB=2，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：連接OC，OB，AC，
∵A（2，0），B（3，

3

），C（1，

3

），
∴BC=OA，BC∥OA，
∴四邊形OCBA是平行四邊形，
∵C（1，

3

），
∴OC=

12+( 3 )2

=2，
∴OA=OC
∴四邊形OCBA是菱形，
∵D（m，

3

m），E（n，

3

3

n），
∴D點(diǎn)在直線OC上，E點(diǎn)在直線OB上，
作B關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，交OC于D，交OB于E，
∴AC⊥OB，AO=OC，
即A和C關(guān)于OB對(duì)稱，
∴CE=AE，
∴DE+CE=DE+AE=AD，
∵B和E′關(guān)于OC對(duì)稱，
∴DE′=DB，
∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′，
過C作CN⊥OA于N，
∵C（1，

3

），
∴ON=1，CN=

3

，
由勾股定理得：OC=2
即AB=BC=OA=OC=2，
∴∠CON=60°，
∴∠CBA=∠COA=60°，
∵四邊形COAB是菱形，
∴BC∥OA，
∴∠DCB=∠COA=60°，
∵B和E′關(guān)于OC對(duì)稱，
∴∠BFC=90°，
∴∠E′BC=90°-60°=30°，
∴∠E′BA=60°+30°=90°，CF=

1

2

BC=1，
由勾股定理得：BF=

3

=E′F，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′=

22+( 3 + 3 )2

=4，
即CE+DE+DB的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱-最短路線問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的點(diǎn)D和E的位置．