Question

在凸四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC把四邊形ABCD分成兩個等腰三角形，則∠ABC的度數(shù)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定

專題：分類討論

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由AC把四邊形ABCD分成兩個等腰三角形，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形的性質(zhì)就可以求出∠ABC的度數(shù)．

解答：解：∵AC把四邊形ABCD分成兩個等腰三角形，
∴△ACD是等腰三角形．
如圖1，當(dāng)AD=AC時(shí)，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC=60°；
如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°；
如圖3，當(dāng)AC=CD時(shí)，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE=

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2

AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=

1

2

BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB∥CE，
∴∠ABC=180°-∠BCF=150°，
綜上所述，∠ABC的度數(shù)為60°、90°、150°．
故答案為：60°、90°、150°．

點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．