Question

某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái)，空調(diào)的采購(gòu)單價(jià)y₁（元/臺(tái)）與采購(gòu)數(shù)量x₁（臺(tái)）滿足y₁=﹣20x₁+1500（0＜x₁≤20，x₁為整數(shù)）；冰箱的采購(gòu)單價(jià)y₂（元/臺(tái)）與采購(gòu)數(shù)量x₂（臺(tái)）滿足y₂=﹣10x₂+1300（0＜x₂≤20，x₂為整數(shù)）．
（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購(gòu)空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購(gòu)單價(jià)不低于1200元，問(wèn)該商家共有幾種進(jìn)貨方案？
（2）該商家分別以1760元/臺(tái)和1700元/臺(tái)的銷售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問(wèn)采購(gòu)空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

（1）5   （2）采購(gòu)空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值為10650元．

解析試題分析：（1）由題意可設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20﹣x）臺(tái)，根據(jù)題中的不等量關(guān)系可列出關(guān)于x的不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺(tái)數(shù)是正整數(shù)確定進(jìn)貨方案；
（2）按常規(guī)可設(shè)總利潤(rùn)為W元，根據(jù)總利潤(rùn)等于空調(diào)和冰箱的利潤(rùn)之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式，整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
試題解析：（1）設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20﹣x）臺(tái)，
由題意得，，
解不等式①得，x≥11，
解不等式②得，x≤15，
所以，不等式組的解集是11≤x≤15，
∵x為正整數(shù)，
∴x可取的值為11、12、13、14、15，
所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案；
（2）設(shè)總利潤(rùn)為W元，
y₂=﹣10x₂+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
則W=（1760﹣y₁）x₁+（1700﹣y₂）x₂，
=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x²﹣1500x+10x²﹣800x+12000，
=30x²﹣540x+12000，
=30（x﹣9）²+9570，
當(dāng)x＞9時(shí)，W隨x的增大而增大，
∵11≤x≤15，
∴當(dāng)x=15時(shí)，W_最大值=30（15﹣9）²+9570=10650（元），
答：采購(gòu)空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值為10650元．
考點(diǎn)：1、一元一次不等式組的應(yīng)用；2、二次函數(shù)的應(yīng)用