【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在正方形ABCD的內(nèi)部,延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.

(1)猜想并證明線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系;
(2)若將圖1中的正方形改成矩形,其它條件不變,如圖2,那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否改變?請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(3)若將圖1中的正方形改成平行四邊形,其它條件不變,如圖3,那么線段GF與GC之間的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)改變?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】
(1)

解:FG=CG,理由如下:

∵E是BC的中點(diǎn)

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF,

∴EF=EC;

同樣,在折疊中,∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG,

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG


(2)

解:不會(huì)改變.

證明:連接EG

∵E是BC的中點(diǎn)

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF,

∴EF=EC;

同樣,在折疊中,∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG,

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG;


(3)

解:不會(huì)改變.

證明:連接EG、FC

∵E是BC的中點(diǎn)

∴BE=CE

∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE

∴BE=EF,∠B=∠AFE

∴EF=EC

∴∠EFC=∠ECF

∵矩形ABCD改為平行四邊形

∴∠B=∠D

∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D

∴∠ECD=∠EFG

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF

∴∠GFC=∠GCF

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG

即(1)中的結(jié)論仍然成立


【解析】(1)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì);(2)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì);(3)判定△ECG和△EFG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等性質(zhì)即可證明.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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