【題目】如圖1所示,將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2,寬為1的長方形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個大的長方形ABEF,現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當(dāng)邊CD′恰好經(jīng)過EF的中點H時,求旋轉(zhuǎn)角α的大;
(2)如圖2,G為BC中點,且0°<α<90°,求證:GD′=E′D;
(3)小長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,△DCD′與△BCD′能否全等?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大。蝗舨荒,說明理由.
【答案】(1)∠α=30°;(2)證明見解析;(3)旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時,△BCD′與△DCD′全等.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CH=1,即可得出結(jié)論;
(2)由G為BC中點可得CG=CE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′CE,則∠GCD′=∠DCE′=90°+α,然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD,則GD′=E′D;
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,而CD=CD′,則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,當(dāng)兩頂角相等時它們?nèi),?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時,可計算出α=135°,當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時,可計算得到α=315°.
試題解析:(1)
∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,∴CE=CH=1,∴△CEH為等腰直角三角形,∴∠ECH=45°,∴∠α=30°;
(2)證明:∵G為BC中點,∴CG=1,∴CG=CE,∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′=CG,∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α,在△GCD′和△E′CD中,∵CD′=CD,∠GCD=∠DCE′,CG=CE′,∴△GCD′≌△E′CD(SAS),∴GD′=E′D;
(3)解:能.
理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,∴CB=CD,∵CD′=CD′,∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時,△BCD′≌△DCD′,當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時,則旋轉(zhuǎn)角α=(360°-90°)÷2=135°,當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時,∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°,則α=360°﹣90°÷2=315°,即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時,△BCD′與△DCD′全等.
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【題目】如圖,直線AB、CD相交于O點,∠AOC與∠AOD的度數(shù)比為4:5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度數(shù).
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【題目】從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中抽取 8 件產(chǎn)品,對其使用壽命跟 蹤調(diào)查.結(jié)果如下(單位:年)
三個廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是 8 年,請根據(jù)結(jié)果來判斷廠家在廣告中分別 運用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的哪一種集中趨勢的特征數(shù).
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【題目】△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC交BC于點E.
(1)∠B=30°,∠C=70°,求∠EAD的大小;
(2)若∠B<∠C,則2∠EAD與∠C-∠B是否相等?若相等,請說明理由.
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【題目】有一塊直角三角板DEF放置在△ABC上,三角板DEF的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C.△ABC中,∠A=50°,求∠DBA+∠DCA的度數(shù).
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【題目】如圖,已知AB⊥BD,AB∥ED,AB=ED,要說明△ABC≌△EDC,若以“SAS”為依據(jù),還要添加的條件為 ;若添加條件AC=EC,則可以用 公理(或定理)判定全等.
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【題目】如圖,一條拋物線經(jīng)過(-2,5),(0,-3)和(1,-4)三點.
(1)求此拋物線的表達式;
(2)假如這條拋物線與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,已知點A在點B左側(cè),試判斷△OCB的形狀.
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