Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，AB=DC=4，點P在邊BC上，點E在邊CD上，∠APE=60°，聯(lián)結AE．
（1）求證：AB•CE=BP•PC；
（2）△APE能否與△ABP相似？若能夠，求此時點P的位置；否則，請簡要說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）作AF⊥BC，可證△ABP∽△PCE，即可解題；
（2）當P是BC中點時，△ABP∽△APE，證明如下．

解答：解：作AF⊥BC交BC于點F，

（1）∵AD=3，BC=7，
∴BF=

1

2

（BC-AD），
∵AB=4，∴∠B=60°，
∵∠BAP+∠BPA=120°，∠BPA+∠CPE，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△ABP∽△PCE，
′∴

AB

PC

=

BP

CE

，即AB•CE=BP•PC；
（2）結論：當P是BC中點時，△ABP∽△APE，
證明：∵AF⊥BC，AB=CD．
則BF=

BC-AD

2

=2=

AB

2

，∠B=60°=∠C．
若延長BA和CD，則△MBC為等邊三角形．
∵∠APE=∠ABP=60度．
∴若△APE與△ABP相似，則必須∠PAE=∠BAP或∠PEA=∠BAP．
①當∠PAE=∠BAP時，點P到AB，AE的距離相等．（角平分線的性質）
∵∠BAP=180°-∠B-∠BPA=120°-∠BPA；
∠CPE=180°-∠APE-∠BPA=120°-∠BPA．
∴∠CPE=∠BAP=∠PAE；
又∵∠C=∠APE=60°，則∠PEC=∠PEA．
∴點P到CE，AE的距離相等．（角平分線的性質）
∴點P到CE，AB的距離相等．（等量代換）
∴點P在∠BMC的平分線上，即此時P為BC的中點，BP=

BC

2

=3.5；
②當∠PEA=∠BAP時，又∠CPE=∠BAP（已證）．
∴∠PEA=∠CPE．（等量代換）
∴AE∥BC，即此時點E與點D重合，得CE=4．
∵∠CPE=∠BAP，∠C=∠B=60°．
∴△PCE∽△ABP，
∴

CE

BP

=

PC

AB

．
設BP=X，則PC=7-X．
∴

4

X

=

7-X

4

，
X²-7X+16=0，方程無解，即這種情況并不存在．
綜上所述，△APE與△ABP能相似，此時P為BC的中點．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的對應邊比值相等的性質．