Question

如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，順次連結(jié)E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．連結(jié)AC、BD，容易證明：中點(diǎn)四邊形EFGH一定是平行四邊形．
（1）如果改變?cè)�四邊形ABCD的形狀，那么中點(diǎn)四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC=BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足

AC⊥BD

時(shí)，四邊形EFGH為矩形；
當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足

AC=BD

時(shí)，四邊形EFGH為正方形．
（2）試證明：S_△AEH+S_△CFG=

1

4

S_?ABCD；
（3）利用（2）的結(jié)論計(jì)算：如果四邊形ABCD的面積為2012，那么中點(diǎn)四邊形EFGH的面積是

1006

（直接將結(jié)果填在橫線上）

Answer 1

分析：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應(yīng)有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應(yīng)有AC⊥BD；若四邊形EFGH為正方形，同上應(yīng)有AC⊥BD，又應(yīng)有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故應(yīng)有AC=BD．
（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．
（3）由（2）可得S_?EFGH=

1

2

S_{四邊形ABCD}=1

解答：（1）解：若四邊形EFGH為矩形，則應(yīng)有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應(yīng)有AC⊥BD；
若四邊形EFGH為正方形，同上應(yīng)有AC⊥BD，又應(yīng)有EH=EF，而EF=

1

2

AC，EH=

1

2

BD，故應(yīng)有AC=BD；

（2）S_△AEH+S_△CFG=

1

4

S_{四邊形ABCD}
證明：在△ABD中，
∵EH=

1

2

BD，
∴△AEH∽△ABD．
∴

S△AEH

S△ABD

=(

EH

BD

)2=

1

4

即S_△AEH=

1

4

S_△ABD
同理可證：S_△CFG=

1

4

S_△CBD
∴S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四邊形ABCD}；

（3）解：由（2）可知S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
同理可得S_△BEF+S_△DHG=

1

4

（S_△ABC+S_△CDA）=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
故S_?EFGH=

1

2

S_{四邊形ABCD}=1006．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)及特殊四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．