Question

【題目】若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β
（1）如圖①，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，若AM∥BN，則α與β有何關(guān)系？并說明理由．
（2）如圖②，若∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與α、β的關(guān)系是 ． （用α、β表示）
（3）如圖③，若α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P1 ， ∠EAP1與∠FBP1的平分線交于P2；依此類推，則∠P5= ． （用α、β表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，

∴∠MAC+∠NCB= ∠EAC+ ∠FBC= β，

∵AM∥BN，

∴∠C=∠MAC+∠NCB，

即α= β；

（2）α=∠APB+ β或α+∠APB= β
（3）α﹣ β
【解析】（2）∵∠EAC的平分線與∠FBC平分線相交于P， ∴∠PAC+∠PBC= ∠EAC+ ∠FBC= β，
若點P在點C的下方，則∠C=∠APB+（∠PAC+∠PBC），
即α=∠APB+ β，
若點P在點C的上方，則∠C+∠APB=∠PAC+∠PBC，
即α+∠APB= β；
綜上所述，α=∠APB+ β或α+∠APB= β；
3）由（2）得，∠P1=∠C﹣（∠PAC+∠PBC）=α﹣ β，
∠P2=∠P1﹣（∠P2AP1+∠P2BP1），
=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P3=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P4=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P5=α﹣ β﹣ β=α﹣ β．
所以答案是：（2）α=∠APB+ β或α+∠APB= β；（3）α﹣ β．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．