Question

已知拋物線y=x²-2ax+a² （a為常數，a＞0），G為該拋物線的頂點．
（1）如圖1，當a=2時，拋物線與y軸交于點M，求△GOM的面積；
（2）如圖2，將拋物線繞頂點G逆時針旋轉90°，所得新圖象與y軸交于A、B兩點（點A在點B的上方），D為x軸的正半軸上一點，以OD為一對角線作平行四邊形OQDE，其中Q點在第一象限．QE交OD于點C，若QO平分∠AQC，AQ=2QC．
①求證：△AQO≌△EQO；
②若QD=OG，試求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出點M的坐標，再把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后求出點G的坐標，從而得到OM、OG，然后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）①根據平行四邊形的對角線互相平分可得OC=CE=QE，然后求出AQ=EQ，再根據角平分線的定義可得∠AQO=∠EQO，然后利用“邊角邊”證明△AQO和△EQO全等；
②根據平行四邊形的對邊相等可得OE=QD，再根據全等三角形對應邊相等可得OA=OE，從而得到點A的坐標，再根據旋轉的性質求出點A旋轉前的坐標，然后代入拋物線解析式進行計算即可求出a的值．
解答：解：（1）當a=2時，令x=0，則y=a²=4，
∴點M（0，4），
∵y=x²-2ax+a²=（x-a）²，
∴當a=2時，頂點G（2，0），
∴OM=4，OG=2，
S_△GOM=OM•OG=×4×2=4；

（2）①∵四邊形OQDE為平行四邊形，
∴OC=CE=QE，
又∵AQ=2QC，
∴AQ=EQ，
∵QO平分∠AQC，
∴∠AQO=∠EQO，
∵在△AQO和△EQO中，
，
∴△AQO≌△EQO（SAS）；

②∵由題意知G（a，0），
∴OG=a，
∵QD=OG，
∴QD=a，
∵四邊形OQDE為平行四邊形，
∴OE=QD=a，
又∵△AOQ≌△EOQ，
∴OA=OE=a，
即A（0，a），
由旋轉知，旋轉前拋物線點A的坐標為（2a，a），
把（2a，a）代入y=x²-2ax+a²得，4a²-2a•a+a²=a，
即a²=a，
解得a=1或0，
∵a為常數，a＞0
∴a=0不合題意，舍去，
∴a=1．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了二次函數與y軸的交點的求解，頂點坐標，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的對邊相等，以及旋轉的性質，（2）中求出點A的坐標以及旋轉前的坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．