Question

如圖，已知函數(shù)y=2x圖象和函數(shù)y=

k

x

圖象交于A，B兩點(diǎn)，過A作AE⊥X軸于點(diǎn)E，△AOE的面積為4，點(diǎn)C是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D是雙曲線上一點(diǎn)，則當(dāng)以點(diǎn)B，E，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)A（t，2t），利用三角形面積公式可求出t=2，得到A（2，4），E（2，0），利用反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到B（-2，-4），作BF⊥x軸于F，連結(jié)AF交y軸于G點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖象于H點(diǎn)，如圖，易得四邊形AEBF為平行四邊形，則此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）；利用待定系數(shù)法求出直線AF的解析式為y=x+2，則G（0，2），通過解方程組

y= 8 x y=x+2

得H（-4，-2），然后計(jì)算HG和BE的長(zhǎng)得到BE=HG，加上BE∥HG，可判斷四邊形BEGH為平行四邊形，于是得到此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．

解答：解：設(shè)A（t，2t），
∵△AOE的面積為4，
∴

1

2

•t•2t=4，解得t=2，
∴A（2，4），E（2，0），
∵函數(shù)y=2x圖象和函數(shù)y=

k

x

圖象交于A，B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B（-2，-4），
作BF⊥x軸于F，連結(jié)AF交y軸于G點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖象于H點(diǎn)，如圖，
∵AE=BF=2，AE∥BF，
∴四邊形AEBF為平行四邊形，
∴點(diǎn)C在F點(diǎn)處，點(diǎn)D在A點(diǎn)處滿足條件，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴AH∥BE，
設(shè)直線AF的解析式為y=mx+n，
把A（2，4），F(xiàn)（-2，0）代入得

2k+b=4 -2k+b=0

，解得

b=2 k=1

，
∴直線AF的解析式為y=x+2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=x+2=2，則G（0，2）；
解方程組

y= 8 x y=x+2

得

x=2 y=4

或

x=-4 y=-2

，則H（-4，-2），
∴HG=

42+(2+2)2

=4

2

，
而BE=

42+(2+2)2

=4

2

，
∴BE=HG，BE∥HG，
∴四邊形BEGH為平行四邊形，
∴點(diǎn)C在G點(diǎn)處，點(diǎn)D在H點(diǎn)處滿足條件，此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）或（0，2）．
故答案為（-2，0）或（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．