【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,AD=6,DC=7,點H為AD上一點,并且AH=2,點E為AB上一動點,以HE為邊長作菱形HEFG,并且使點G在CD邊上,連接CF
(1)如圖1,當DG=2時,求證:四邊形EFGH為正方形;
(2)如圖2,當DG=6時,求△CGF的面積;
(3)當DG的長度為何值時,△CGF的面積最小,并求出△CGF面積的最小值;
【答案】(1)證明見解析(2)1(3)當DG=時,△FCG的面積最小為(7-)
【解析】
(1)由于四邊形ABCD為矩形,四邊形HEFG為菱形,可得∠D=∠A=90°,HG=HE;已知AH=DG=2,易證△AHE≌△DGH,由全等三角形的性質(zhì)可得∠DHG=∠HEA,再證得∠EHG=90°,即可判定四邊形HEFG為正方形;(2)過F作FM⊥DC,交DC延長線于M,連接GE,由于AB∥CD,可得∠AEG=∠MGE,同理有∠HEG=∠FGE,利用等式性質(zhì)有∠AEH=∠MGF,再結合∠A=∠M=90°,HE=FG,可證△AHE≌△MFG,從而有FM=HA=2(即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2),進而可求三角形面積;(3)先設DG=x,由第(2)小題得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,利用勾股定理可得HE2≤53,在Rt△DHG中,再利用勾股定理可得x2+16≤53,進而可求x≤,從而可得當x=時,△GCF的面積最小,由此即可解答.
(1)∵四邊形ABCD為矩形,四邊形HEFG為菱形,
∴∠D=∠A=90°,HG=HE,又AH=DG=2,
∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),
∴∠DHG=∠HEA,
∵∠AHE+∠HEA=90°,
∴∠AHE+∠DHG=90°,
∴∠EHG=90°,
∴四邊形HEFG為正方形;
(2)過F作FM⊥DC,交DC延長線于M,連接GE,
∵AB∥CD,
∴∠AEG=∠MGE,
∵HE∥GF,
∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠MGF,
在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,
∴△AHE≌△MFG,
∴FM=HA=2,即無論菱形EFGH如何變化,點F到直線CD的距離始終為定值2,
因此S△FCG=×FM×GC=×2×(7-6)=1;
(3)設DG=x,則由第(2)小題得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,
∴HE2≤53,
∴x2+16≤53,
∴x≤,
∴S△FCG的最小值為7-,此時DG=,
∴當DG=時,△FCG的面積最小為(7-).
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【題目】如圖,數(shù)軸上A、B兩點分別對應有理數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為AB,在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|,利用數(shù)形結合思想回答下列問題:
(1)數(shù)軸上表示2和10兩點之間的距離是_______.
(2)數(shù)軸上一個點到表示2的點的距離為5.2,這個點表示的數(shù)為______.
(3)若x表示一個數(shù),數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點之間的距離是____;(用含x的式子表示)
(4)若x表示一個數(shù),|x+1|+|x﹣2|的最小值是______,相應的x的取值范圍_______.
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【題目】(1)如圖1,同心圓中,大圓O的弦AB與小圓O切于點P,且AB=16,則圓環(huán)面積為________;
(2)如圖2,同心圓中,大圓O的弦AB與小圓O相交,其中一個交點為點P,且AP=2,PB=8,則圓環(huán)面積為________.
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【題目】在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且AE=BD,
(1)當點E為AB的中點時,如圖1,求證:EC=ED;
(2)當點E不是AB的中點時,如圖2,過點E作EF//BC,求證:△AEF是等邊三角形;
(3)在第(2)小題的條件下,EC與ED還相等嗎,請說明理由.
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【題目】某公司對用戶滿意度進行問卷調(diào)查,將連續(xù)6天內(nèi)每天收回的問卷數(shù)進行統(tǒng)計,繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖.已知從左到右各矩形的高度比為2:3:4:6:4:1.第3天的頻數(shù)是12.請你回答:
(1)收回問卷最多的一天共收到問卷_________份;
(2)本次活動共收回問卷共_________份;
(3)市場部對收回的問卷統(tǒng)一進行了編號,通過電腦程序隨機抽選一個編號,抽到問卷是第4天收回的概率是多少?
(4)按照(3)中的模式隨機抽選若干編號,確定幸運用戶發(fā)放紀念獎,第4天和第6天分別有10份和2份獲獎,那么你認為這兩組中哪個組獲獎率較高?為什么?
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【題目】某校計劃開設4門選修課:音樂、繪畫、體育、舞蹈,學校采取隨機抽樣的方法進行問卷調(diào)查(每個被調(diào)查的學生必須選擇而且只能選擇其中一門),對調(diào)查結果進行統(tǒng)計后,繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計圖.
根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息,回答下列問題:
(1)此次調(diào)查抽取的學生人數(shù)為a= 人,其中選擇“繪畫”的學生人數(shù)占抽樣人數(shù)的百分比為b= ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校有2000名學生,請估計全校選擇“繪畫”的學生大約有多少人?
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【題目】某廠有甲、乙、丙三個蓄水池,已知甲蓄水池的蓄水量x是從3萬噸至6萬噸,乙蓄水池的蓄水量y萬噸與甲蓄水池蓄水量x萬噸之間的關系是: ,丙蓄水池的蓄水量的3倍恰好是甲蓄水池的蓄水量與乙蓄水池的蓄水量的積.問:
(1)若丙蓄水池的蓄水量最大為22萬噸,當甲蓄水池的蓄水量為6噸時, 丙蓄水池能否容納?為什么?
(2)求丙蓄水池的蓄水量z萬噸與甲蓄水池蓄水量x萬噸之間的關系?
(3)蓄水池管理員在觀察三個蓄水池蓄水量的記錄時發(fā)現(xiàn),在整個蓄水過程中, 丙蓄水池的蓄水量多次出現(xiàn)整數(shù)萬噸的情況,你能說出共出現(xiàn)過多少次?分別是多少嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)前的序號分別填入相應的集合內(nèi):
①-2.5, ②0,③,④,⑤,⑥,⑦-0.5252252225…(每兩個5之間依次增加1個2).
(1)正數(shù)集合: { …};
(2)負分數(shù)集合:{ …};
(3)整數(shù)集合: { …};
(4)無理數(shù)集合:{ …}.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在一棵樹CD的10m高處的B點有兩只猴子,它們都要到A處池塘邊喝水,其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處,另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處.如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等,試問這棵樹多高?
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