Question

如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，問(wèn)這樣的點(diǎn)有幾個(gè)并求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵BC∥AE，
∴∠BCA=∠CAE，
又∵AE切⊙O于點(diǎn)A，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠BCA=∠ABC，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：射線AE上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有兩個(gè)．
①過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交AE于點(diǎn)P₁．
∵BC∥AE，
∴ABCP₁為平行四邊形，
∴AP₁=BC=8．
②過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AE于點(diǎn)P₂，
∴∠P₂AC=∠ABC，
又∠P₂CA=∠ACB，
∴△AP₂C∽△CAB，
∴AP₂：AC=AC：BC，
∴AP₂=AC²：BC=12.5．
分析：（1）利用弦切角定理及平行線的性質(zhì)，證明∠B=∠C，得出△ABC是等腰三角形；
（2）由于∠CAP=∠B，那么以A、P、C為頂點(diǎn)與△ABC相似的三角形只有△CAP₁或△P₂AC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AP的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)．本題較難．