Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-2x²+4x+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．過(guò)點(diǎn)C、D的直線與x軸交于E點(diǎn)，以O(shè)E為直徑畫⊙O₁，交直線CD于P、E兩點(diǎn)．
（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接PO₁、PA．求證：△BCD∽△PO₁A；
（3）①以點(diǎn)O₂（0，m）為圓心畫⊙O₂，使得⊙O₂與⊙O₁相切，當(dāng)⊙O₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
②在①的情形下，試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)O₃，以O(shè)₃為圓心畫⊙O₃，使得⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂同時(shí)相切．直接寫出滿足條件的點(diǎn)O₃的坐標(biāo)（不需寫出計(jì)算過(guò)程）．

Answer 1

解：（1）y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴C（0，6），D（1，8），
設(shè)直線CD：y=kx+b（k≠0）將C、D代入得，
解得，
∴CD直線解析式：y=2x+6，當(dāng)y=0，x=-3，
∴E（-3，0）；

（2）令y=0得-2x²+4x+6=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵O（0，0）、E（-3，0），
∴以O(shè)E為直徑的圓心、半徑．
設(shè)P（t，2t+6），
由得，
解得：t ₁=-，t ₂=-3（舍），
∴，
∴，，
又，，，
∴，
∴△BCD∽△PO₁A；

（3）①，，O₂（0，m）
據(jù)題意，顯然點(diǎn)O₂在點(diǎn)C下方r₂=O₂C=6-m，
當(dāng)⊙O₂與⊙O₁外切時(shí)O₁O₂=r₁+r₂，
代入得，
解得：（舍），
當(dāng)⊙O₂與⊙O₁內(nèi)切時(shí)O₁O₂=|r₁-r₂|，
代入得，
解得：（舍），
∴，

②當(dāng)⊙O₃與⊙O₂圓心重合時(shí)，O₃（0，2），
當(dāng)⊙O₁與⊙O₂外切時(shí)，，，，；
當(dāng)⊙O₁與⊙O₂內(nèi)切時(shí)．
分析：（1）運(yùn)用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)與圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線CD的解析式，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分別求出△BCD與△PO₁A三邊的比值得出兩三角形相似；
（3）根據(jù)當(dāng)⊙O₂與⊙O₁外切時(shí)O₁O₂=r₁+r₂，以及當(dāng)⊙O₂與⊙O₁內(nèi)切時(shí)O₁O₂=|r₁-r₂|，分別求出符合要求的答案即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定，還用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．