Question

如圖(1)，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點(不與M、C重合)，以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．

(1)求證：OF∥BE；

(2)設(shè)BP＝x，AF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)延長DC、FP交于點G，連接OE并延長交直線DC與H(圖2)，問是否存在點P，使△EFO∽△EHG(E、F、O與E、H、G為對應(yīng)點)，如果存在，試求(2)中x和y的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：連接OE 　　FE、FA是⊙O的兩條切線 　　∴∠FAO＝∠FEO＝90° 　　FO＝FO，OA＝EO 　　∴Rt△FAO≌Rt△FEO 　　∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE 　　∴∠AOF＝∠ABE 　　∴OF∥BE　4分 　　(2)過F作FQ⊥BC于Q 　　∴PQ＝BP－BQ＝x－y 　　PF＝EF＋EP＝FA＋BP＝x＋y 　　∵在Rt△PFQ中 　　∴＋ 　　∴化簡得，(1＜x＜2)　3分 　　(3)存在這樣的P點 　　∵∠EOF＝∠AOF 　　∴∠EHG＝∠EOA＝2∠EOF 　　當(dāng)∠EFO＝∠EHG＝2∠EOF時 　　即∠EOF＝30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG 　　此時Rt△AFO中，y＝AF＝OA·tan30°＝ 　　 　　∴當(dāng)時，△EFO∽△EHG　3分