Question

（2001•烏魯木齊）如圖，直線(xiàn)AB過(guò)點(diǎn)A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數(shù)的圖象與直線(xiàn)AB交于C、D兩點(diǎn)，P為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．
（1）用含m、n的代數(shù)式表示△AOB的面積S；
（2）若m+n=10，n為何值時(shí)S最大并求出這個(gè)最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件，過(guò)O、D、C點(diǎn)作拋物線(xiàn)，當(dāng)該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1時(shí)，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A、B的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S的表達(dá)式．
（2）將（1）S表達(dá)式中的m用n替換掉，即可得出S、n的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的n的值．
（3）可聯(lián)立直線(xiàn)AB和反比例函數(shù)的解析式，得出C、D的坐標(biāo)，由于D、C是AB的三等分點(diǎn)，因此C點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍據(jù)此可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）本題的關(guān)鍵是求出m的值，可根據(jù)C得到n的值表示出C、D的坐標(biāo)，已知了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，因此拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），然后將C、D坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中，即可求得m的值．而矩形的面積實(shí)際是P點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積，也就是m的值．
解答：解：（1）S=OA•OB=mn

（2）由題意可得：m=10-n，
S=mn=n（10-n）=-（n-5）²+
∴當(dāng)n=5時(shí)，Smax=．

（3）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，則有

解得
∴y=-x+n
聯(lián)立反比例函數(shù)有：
，
解得，
∴C（，），D（，）
∵BD=DC=CA，
∴x_C=2x_D
即=2×，
解得n=．

（4）當(dāng)n=時(shí)，易知C（m，），D（m，3）
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，拋物線(xiàn)必過(guò)（2，0）點(diǎn)．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax（x-2），依題意有：
，
解得m=
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），S_□ROQP=ab=m=．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的綜合題．考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖象面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．