Question

（11·十堰）12分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，-3）。
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），已知點H（0，-1）.問在拋物線上是否存在點G（點G在y軸的左側），使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖（2），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（-2，0），F(xiàn)是OC的中點，連接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長.

Answer 1

所以拋物線的解析式是y=x²+2x-3

(2)解法一：假設拋物線上存在點G，設G（m,n）,顯然，當n=-3時，△AGH不存在。

S_△AGH= S_△GHC，∴m+n+1=0,
∵點G在y軸的左側，∴G（-1，-4）.

解法二：①如圖①，當GH//AC時，點A，點C到GH的距離相等，所以S_△AGH= S_△GHC，可得AC的解析式為y=3x-3,∵GH//AC,得GH的解析式為y=3x-1.
∴G(-1,-4)
②如圖②，當GH與AC不平行時，因為點A，C到直線GH的距離相等，所以直線GH

(3) 如圖③，E(-2,0), ∴D點的橫坐標是-2，點D在拋物線上，∴D（-2，-3）

∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∠EPF=∠PDF，∴∠BPE=∠DFP,可證△PBE∽△FDP,
解析:
略