Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，一次函數(shù)y=

5

4

x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F，是否存在這樣的點(diǎn)E，使得A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得m的值和直線的解析式，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式；
（3）存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．如答圖1所示，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的面積．注意：符合要求的E點(diǎn)有兩個(gè)，如答圖1所示，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=

5

4

x+m經(jīng)過點(diǎn)（-3，0），
∴0=-

15

4

+m，
解得：m=

15

4

，
∴直線解析式為：y=

5

4

x+

15

4

，
C（0，

15

4

）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c對(duì)稱軸為x=1，且與x軸交于A（-3，0），
∴另一交點(diǎn)為B（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-5），
∵拋物線經(jīng)過C（0，

15

4

），
∴

15

4

=a•3（-5），
解得a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則AC∥EF且AC=EF．如答圖1，

（i）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，
在△CAO和△EFG中

∠COA=∠EGF ∠GFE=∠CAO AC=EF

，
∴△CAO≌△EFG（AAS），
∴EG=CO=

15

4

，
即y_E=

15

4

，
∴

15

4

=-

1

4

x_E²+

1

2

x_E+

15

4

，
解得x_E=2（x_E=0與C點(diǎn)重合，舍去），
∴E（2，

15

4

），
S_?ACEF=

15

2

；
（ii）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí)，過點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′，
-

15

4

=-

1

4

x²+

1

2

x+

15

4

，
解得：x=1±

31

，（負(fù)數(shù)舍去），則x=1+

31

，
可得E′（

31

+1，-

15

4

），
S_?ACE′F′=

15 31 +105

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及二次根式的運(yùn)算、平行四邊形、全等三角形等．本題解題技巧要求高，而且運(yùn)算復(fù)雜，因此對(duì)考生的綜合能力提出了很高的要求．