Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對(duì)稱軸上，⊙M的半徑為

5

．設(shè)⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點(diǎn)為E．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）設(shè)∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意與圖象可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱軸方程與點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求得函數(shù)的解析式；
（2）由拋物線的解析式可求得點(diǎn)A，E，B，C，D的坐標(biāo)，判斷Rt△BOD∽R(shí)t△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=

CO

BC

=

2

2

；
（3）顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0），
過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂∽R(shí)t△BCE，得P₂（0，

1

3

），
過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0），
故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），P₂（0，

1

3

），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似．

解答：解：（1）由題意可知C（0，-3），-

b

2a

=1，
∴拋物線的解析式為y=ax²-2ax-3（a＞0），
過M作MN⊥y軸于N，連接CM，則MN=1，CM=

5

，
∴CN=2，于是m=-1．
同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2a×3-3=0，得a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），B（3，0），C（0，-3）．
∵M(jìn)到AB，CD的距離相等，OB=OC，
∴OA=OD，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴在Rt△BCO中，BC=

OB2+OC2

=3

2

，
∴

OB

OD

=

3

1

=3，
在△BCE中，∵BC²+CE²=（3²+3²）+[（1-0）²+（-4+3）²]=20=（3-1）²+（0+4）²=BE²
∴△BCE是Rt△

BC

CE

=

3 2

2

=3，
∴

OB

OD

=

BC

CE

，
即

OB

BC

=

OD

CE

，
∴Rt△BOD∽R(shí)t△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，
因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=

CO

BC

=

2

2

．

（3）顯然Rt△COA∽R(shí)t△BCE，此時(shí)點(diǎn)P₁（0，0）．
過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，
由Rt△CAP₂∽R(shí)t△BCE，得P₂（0，

1

3

）．
過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽R(shí)t△BCE，得P₃（9，0）．
故在坐標(biāo)軸上存在三個(gè)點(diǎn)P₁（0，0），P₂（0，

1

3

），P₃（9，0），
使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，要注意分析圖形，應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．