Question

【題目】如圖，已知拋物線 與軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，3），動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，直線PE與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若P與C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求直線PE的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若PM=EM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3；（2）y=；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或（，）.

【解析】分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線中，解出即可.

（2）設(shè)PE的函數(shù)表達(dá)式y=kx+m，根據(jù)題意算出P點(diǎn)坐標(biāo),把P、E的坐標(biāo)代入y=kx+m中，求出k、m的值即可.

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

詳解：(1) ∵拋物線與x軸交于A(-1,0)，B(3，0)，

∴可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

將C(0，3)代入，得：3=a×（0+1）（0-3），∴ａ＝-1，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x+1)(x-3).

即y=-x2+2x+3 .

(2) ∵拋物線的對(duì)稱軸為x=，

∴點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱的點(diǎn)為(2，3)，

∴由題意知，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，3)，

設(shè)直線PE的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，

將P(2，3)，E(-2，0)代入，

得： 解得：.

∴直線PE的函數(shù)表達(dá)式為y=.

（3）如圖，設(shè)對(duì)稱軸x=1與x軸的交點(diǎn)為F，過P作PH垂直對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)H，

∵對(duì)稱軸x=1與x軸垂直，

∴Rt△PMH∽R(shí)t△EMF，∴，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，

∵動(dòng)點(diǎn)P可能在對(duì)稱軸x=1的左側(cè)或右側(cè)的拋物線上，∴PH＝|x-1|，

又EF=3，PM=EM，

∴，∴x-1=，x=或x=，

當(dāng)x=時(shí)，y=-(+1)( -3)= ，

當(dāng)x=時(shí)，y=-(+1)( -3)= ，

∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或（，）.