Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x²+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸子點C，交拋物線于點E．
（1）∠BAO=______°，b=______；
（2）當(dāng)DE=3時，求點C坐標(biāo)；
（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線AB的解析式為y=x+4，
∴令x=0，得y=4；
令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∴OA=OB=4，
∴tan∠BAO==1，
∴∠BAO=45°．
又∵點A（-4，0），B（0，4）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴，
解得：．
故答案是：45，-3；

（2）由（1）易知，該拋物線的解析式為y=x²-3x+4．
設(shè)點C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴點E坐標(biāo)為（m，8+m）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m=-2；

（3）設(shè)點C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，則D（m，4+m）．
∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必為等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，則BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=-m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵點E在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標(biāo)為（-3，1）或（-2，2）．
分析：（1）首先求出點A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出b的值；
（2）設(shè)點C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），根據(jù)已知條件求出點E坐標(biāo)為（m，8+m）；由于點E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值；
（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標(biāo)，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數(shù)．
點評：考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形等重要知識點．第（3）問需要分類討論，這是本題的難點．