Question

在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的位置如圖所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，1）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線上到x軸的距離為1的點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)為B₁，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△B₁PB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如果過(guò)A作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸垂足為D．不難得出△AOC和△BOD全等，那么B的橫坐標(biāo)就是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，B的縱坐標(biāo)就是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，由此可得出B的坐標(biāo)．
（2）已知了A，O的坐標(biāo)，根據(jù)（1）求出的B點(diǎn)的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)（2）的解析式可得出對(duì)稱軸的解析式，然后根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)得出B₁的坐標(biāo)，那么BB₁就是三角形的底邊，B的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值就是△PBB₁的高，由此可求出其面積．

解答：解：（1）作AC⊥x軸，垂足為C，作BD⊥x軸垂足為D．
則∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD．
在△ACO和△ODB中，

∠ACO=∠ODB ∠OAC=∠BOD AO=BO

，
∴△ACO≌△ODB（AAS）．
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）．
（2）因拋物線過(guò)原點(diǎn)，
故可設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx．
將A（-3，1），B（1，3）兩點(diǎn)代入，

a+b=3 9a-3b=1

，
解得：a=

5

6

，b=

13

6

故所求拋物線的解析式為y=

5

6

x²+

13

6

x．

（3）在拋物線y=

5

6

x²+

13

6

x．對(duì)稱軸l的方程是x=-

b

2a

=-

13

10

．
點(diǎn)B₁是B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸l的對(duì)稱點(diǎn)，故B₁坐標(biāo)（-

18

5

，3），
∴B₁B=1-（-

18

5

）=

23

5

．
由題意，設(shè)拋物線上到x軸的距離為1的點(diǎn)為P（k，1）或P（k，-1），則

5

6

k²+

13

6

k=1或

5

6

k²+

13

6

k=-1
即：5k²+13k-6=0或5k²+13k+6=0，
解得k₁=-3，k₂=

2

5

，k₃=-2，k₄=-

3

5

，
即拋物線上到x軸的距離為1的點(diǎn)為：
P₁（-3，1）、P₂（

2

5

，1）、P₃（-2，-1）、P₄（-

3

5

，-1）．
在△B₁P₁B中，底邊B₁B=

23

5

，高的長(zhǎng)為2，故S_△B1P1B=

1

2

×

23

5

×2=

23

5

，
同理S_△B2P2B=

46

5

，
∴△B₁PB=

46

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，此題難度不大應(yīng)熟練掌握．