Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結論：①∠ACD＝30°；②SABCD＝ACBC；③OE：AC＝：6； ④SOEF＝SABCD，成立的是_____．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到SABCD=ACBC，故②正確，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6；故③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝=2，求得S△OCF=2S△OEF，所以S△OEF=S△OEC，又因為OE=BC=AD，S△OEC= S△OEB，所以S△OEC= S△OEB=S△ABD=S ABCD，可得：S△OEF=×S ABCD=，故④不正確．

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于點E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等邊三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；
∵AC⊥BC，
∴SABCD=ACBC，故②正確，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=BC，
∴OE：AC=BC：BC，
∴OE：AC=：6；故③正確；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴==2:1 ，
∴S△OCF：S△OEF==2，
∴S△OCF=2S△OEF，

∴S△OEF=S△OEC，

又∵OE=BC=AD，S△OEC= S△OEB，

∴ S△OEC= S△OEB=S△ABD=S ABCD，

即S△OEF=×S ABCD=，

故④不正確．
故答案為：①②③．