Question

如圖，已知△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)的頂點(diǎn)C（2，0），∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6

2

，∠BCD=45°．
①求A、B的坐標(biāo)；
②求AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

專題：

分析：①過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，先解直角△ABC，得到AC=

1

2

AB=3

2

，BC=

3

AC=3

6

，再由△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=

2

2

BC=3

3

，由△ACE是等腰直角三角形得出AE=CE=

2

2

AC=3，再根據(jù)C的坐標(biāo)為（2，0），即可求出A、B的坐標(biāo)；
②由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：①過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6

2

，
∴AC=

1

2

AB=3

2

，BC=

3

AC=3

6

．
在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴∠BCD=45°，
∴CD=BD=

2

2

BC=3

3

．
在△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴AE=CE=

2

2

AC=3．
∵C（2，0），
∴OC=2，
∴OE=CE-OC=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3）．
∵OD=OC+CD=2+3

3

，
∴B的坐標(biāo)（2+3

3

，3

3

）；

②∵A（-1，3），B（2+3

3

，3

3

），
∴AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1+3 3

2

，

3+3 3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，綜合性較強(qiáng)，難度適中．