Question

【題目】如果一個三位正整數(shù)A與另一個三位正整數(shù)B相加得到三位數(shù)C，C的三個數(shù)位上的數(shù)字都相同，我們就稱三位正整數(shù)A和三位正整數(shù)B互為“影子數(shù)”如：191+253＝444，191+475＝666…，所以191和253互為“影子數(shù)”，同時191和475也互為“影子數(shù)”，475和253都是191的“影子數(shù)”．

（1）若一個三位正整數(shù)M是67的倍數(shù)，它比它的一個“影子數(shù)”小107，求這個三位數(shù)M；

（2）若將一個三位正整數(shù)的十位和百位交換位置后組成的三位數(shù)是，且是的“影子數(shù)”，若﹣＝540，求證：b＝c+3．

Answer 1

【答案】（1）335；（2）見解析

【解析】

（1）因為這個數(shù)與它的影子數(shù)之和最大為999，而影子數(shù)比它大107，所以可以判斷出來這個數(shù)不能超過446，所以67的倍數(shù)關(guān)系應該不超過402，將大于100而小于402的67的倍數(shù)逐一進行判斷即可．

（2）根據(jù)“影子數(shù)”的定義求出a、b、c之間的關(guān)系式代入題中給定的等式求出．

解；（1）∵這個數(shù)與它的影子數(shù)之和最大為999，而影子數(shù)比它大107，

∴可以判斷出來這個數(shù)不能超過 ，

又∵M是67的倍數(shù)，M為三位數(shù)

∴M是大于100且不超過402的67的倍數(shù)

故M= 134或201或268或335或402

∴當M=134時，M+107=134+107=241，故2M+107=375，不符合題意，

當M=201時，M+107=201+107=308，故2M+107=509，不符合題意，

當M=268時，M+107=268+107=375，故2M+107=643不符合題意，

當M=335時，M+107=335+107=442，故2M+107=777，符合題意，

當M=402時，M+107=402+107=509，故2M+107=911，不符合題意，

∴M為335．

（2）證明：∵和互為影子數(shù)，所以a＝2c﹣b，

∵﹣＝540，

∴100b+10（2c﹣b）+c＝540+100（2c﹣b）+10b+c，

∴180b﹣180c＝180（b-c）=540，

∴b﹣c＝3，

∴b＝c+3．