Question

如圖，直線y=-x+4與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M（x，y）是直線AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．
（1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發(fā)生變化？并說明理由．
（2）設(shè)四邊形OCMD面積S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；并求出當四邊形OCMD為正方形時的面積．
（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方形移動，這平移的距離為a（0＜a＜4），求當a為多少時正方形OCMD的周長被分為1：3．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，用坐標表示線段的長度則：MC=|-x+4|，MD=|x|，分成M在AB的延長線上，在線段AB上，在線段BA的延長線上，則x的范圍即可確定，根據(jù)矩形的面積公式即可寫出函數(shù)解析式；
（2）先用x表示出MC和MD的長，即可得到函數(shù)關(guān)系式；
（3）正方形OCMD的周長被分為1：3時，當A在直線AB的左側(cè)時，如圖（2），右側(cè)是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長的

1

4

，據(jù)此即可求得；同理當A在直線AB的右側(cè)時，如圖（3），直線AB的左側(cè)的部分是等腰直角三角形，等腰直角三角形的兩直角邊的和是矩形周長的

1

4

．

解答：解：（1）設(shè)點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4，
則：MC=|-x+4|，MD=|x|，
當M在AB的延長線上時，即x＜0時，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=-x，
因而C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4-x）=8-4x，此時四邊形OCMD的周長是發(fā)生變化的；
當M在線段AB上時，即0＜x＜4，則MC=|-x+4|=-x+4，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，此時四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化；
當M在BA的延長線上，即x＞4時，MC=|-x+4|=4-x，MD=|x|=x，
C_{四邊形OCMD}=2（MC+MD）=2（4-x+x）=8，此時四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化；
總之，當點M在線段AB上或BA的延長線上運動時，四邊形OCMD的周長不發(fā)生變化，總是等于8．
當M在線段AB的延長線上時，四邊形OCMD的周長發(fā)生變化；

（2）當M在AB的延長線上時，即x＜0時，S=MC•MD=（-x+4）•（-x）=x²-4x；
當M在線段AB上時，0＜x＜4時，S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x；
當M在BA的延長線上，即x＞4時，S=MC•MD=（4-x）•x=4x-x²；
當四邊形OCMD為正方形時，P在線段AB上，此時-x+4=x，解得：x=2，
把x=2代入函數(shù)解析式S=MC•MD=（-x+4）•x=-x²+4x，得：S_{四邊形OCMD}=4，即四邊形OCMD為正方形時的面積是4；
（3）當A在直線AB的左側(cè)時，如圖（2），右側(cè)是等腰直角三角形，則正方形OCMD的周長被分為1：3時，2a=

1

4

×8，
解得：a=1．
當A在直線AB的右側(cè)時，如圖（3），直線AB的左側(cè)的部分是等腰直角三角形，2（2+a-4）=

1

4

×8，
解得：a=3．
總之，a=1或3．

點評：本題結(jié)合四邊形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應用，有關(guān)函數(shù)和幾何圖形的綜合題目，要利用幾何圖形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)把數(shù)與形有機地結(jié)合在一起，利用題中所給出的面積和周長之間的數(shù)量關(guān)系求解．