Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．若AE=1，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】.

【解析】

先根據(jù)SAS證明△DEF≌△DMF，得EF＝MF，再設(shè)EF＝MF＝x，分別表示出BE和BF，然后在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果.

解：∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，

∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，

∴F，C，M三點(diǎn)共線(xiàn)，

∴DE＝DM，∠EDM＝90°，

∴∠EDF＋∠FDM＝90°，

∵∠EDF＝45°，

∴∠FDM＝∠EDF＝45°，

在△DEF和△DMF中，

∴△DEF≌△DMF(SAS)，

∴EF＝MF，設(shè)EF＝MF＝x，

∵AE＝CM＝1，且BC＝3，

∴EB＝AB－AE＝3－1＝2，BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，

∴BF＝BM－MF＝4－x，

在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2＋BF2＝EF2，即22＋(4－x)2＝x2，

解得x＝，即EF＝.