Question

如圖，點E是Rt△ABC斜邊AB的中點，△ADE是以E為直角頂點的等腰直角三角形，DE與AC交于點F，連接CD．若BC=CD，AB=2，則△ADF的面積為（　　）

• A、

  2- 2

  2

• B、

  2+ 2

  2

• C、

  3- 2

  2

• D、

  3+ 2

  2

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AE=BE=CE=

1

2

AB=1，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AE=DE=1，AD=

2

AE=

2

，∠DAE=45°，
則可根據(jù)“SSS”判斷△EBC≌△EDC，所以∠BEC=∠DEC=45°，于是EC∥AD，所以△ECF∽△DAF，根據(jù)相似的性質(zhì)得

EF

FD

=

EC

AD

=

1

2

，利用比例性質(zhì)可得到DF=2-

2

，然后根據(jù)三角形面積公式計算即可．

解答：解：連結(jié)CE，如圖，
∵點E是Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴AE=BE=CE=

1

2

AB=1，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE=1，AD=

2

AE=

2

，∠DAE=45°，
∴ED=EC=EB，
而BC=CD，
∴△EBC≌△EDC，
∴∠BEC=∠DEC，
而∠BED=90°，
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC=∠DAE，
∴EC∥AD，
∴△ECF∽△DAF，
∴

EF

FD

=

EC

AD

=

1

2

，
∴

DF+EF

DF

=

2 +1

2

，即

1

DF

=

2 +1

2

，
∴DF=2-

2

，
∴△ADF的面積=

1

2

AE•DF=

1

2

×1×（2-

2

）=

2- 2

2

．
故選A．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．