【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的一邊AB在x軸上,∠ABC=90°,點C(4,8)在第一象限內,AC與y軸交于點E,拋物線經過A、B兩點,與y軸交于點D(0,﹣6).
(1)請直接寫出拋物線的表達式;
(2)點P是x軸下方拋物線上一動點,設點P的橫坐標為m,△PAC的面積為S,試求出S與m的函數關系式;
(3)若點M是x軸正半軸上一點(不與點A重合),拋物線上是否存在點N,使∠CAN=∠MAN.若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2);(3)N
【解析】
(1)先確定B(4,0),再利用待定系數法求出拋物線解析式為y= ;
(2)先利用待定系數法求得直線AC的解析式為y= ,作PQ∥y軸交AC于Q,設P(m,),則Q(m,),則PQ= ,然后根據三角形面積公式,利用S=S△PAQ+S△PCQ計算即可;
(3)如圖2,當點M在x的正半軸,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,根據角平分線的性質得FH=FB,易得AH=AB=6,再利用∠ACB的余弦可求出CF=5,則F(4,3),接著求出直線AF的解析式為y= x+1,于是通過解方程組得N點坐標為()
(1)∵BC⊥x軸,點C(4,8),
∴B(4,0),
把B(4,0),D(0,-6)代入y=得,解得
∴拋物線解析式為
(2)設直線AC的解析式為y=px+q,
把A(-2,0),C(4,8)代入得,解得
∴直線AC的解析式為
如圖1,作PQ∥y軸交AC于Q,
設,則Q
(3)圖2,當點M在x的正半軸,AN交BC于F,作FH⊥AC于H,則FH=FB,
易得AH=AB=6,
∴F(4,3),
易得直線AF的解析式為
解方程組得或
∴N點坐標為
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【題目】如圖1,在四邊形ABCD的邊BC的延長線上取一點E,在直線BC的同側作一個以CE為底的等腰△CEF,且滿足∠B+∠F=180°,則稱三角形CEF為四邊形ABCD的“伴隨三角形”.
(1)如圖1,若△CEF是正方形ABCD的“伴隨三角形”:
①連接AC,則∠ACF= ;
②若CE=2BC,連接AE交CF于H,求證:H是CF的中點;
(2)如圖2,若△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”,∠B=60°,M是線段AE的中點,連接DM、FM,猜想并證明DM與FM的位置與數量關系.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,把菱形ABCD繞BC的中點E順時針旋轉60°得到菱形A'B'C'D',其中點D的運動路徑為,則圖中陰影部分的面積為__.
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【題目】為了推進球類運動的發(fā)展,某校組織校內球類運動會,分籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五項,要求每位學生必須參加一項并且只能參加一項,某班有一名學生根據自己了解的班內情況繪制了如圖所示的不完整統計表和扇形統計圖.
請根據圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)圖表中m=________,n=________;
(2)若該校學生共有1000人,則該校參加羽毛球活動的人數約為________人;
(3)該班參加乒乓球活動的4位同學中,有3位男同學(分別用A,B,C表示)和1位女同學(用D表示),現準備從中選出兩名同學參加雙打比賽,用樹狀圖或列表法求出恰好選出一男一女的概率.
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【題目】定義:有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“準菱形”.利用該定義完成以下各題:
(1) 理解
填空:如圖1,在四邊形ABCD中,若 (填一種情況),則四邊形ABCD是“準菱形”;
(2)應用
證明:對角線相等且互相平分的“準菱形”是正方形;(請畫出圖形,寫出已知,求證并證明)
(3) 拓展
如圖2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,將Rt△ABC沿∠ABC的平分線BP方向平移得到△DEF,連接AD,BF,若平移后的四邊形ABFD是“準菱形”,求線段BE的長.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點的坐標為.
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線,它與軸和軸的正半軸分別交于點和點,且與關于直線對稱.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)請求出(1)中作出的直線的函數表達式.
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【題目】(1)【問題發(fā)現】
如圖1,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,點D為BC的中點,以CD為一邊作正方形CDEF,點E恰好與點A重合,則線段BE與AF的數量關系為
(2)【拓展研究】
在(1)的條件下,如果正方形CDEF繞點C旋轉,連接BE,CE,AF,線段BE與AF的數量關系有無變化?請僅就圖2的情形給出證明;
(3)【問題發(fā)現】
當正方形CDEF旋轉到B,E,F三點共線時候,直接寫出線段AF的長.
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【題目】對于平面直角坐標系xOy中的任意兩點M,N,給出如下定義:點M與點N的“折線距離”為:.
例如:若點M(-1,1),點N(2,-2),則點M與點N的“折線距離”為:.根據以上定義,解決下列問題:
(1)已知點P(3,-2).
①若點A(-2,-1),則d(P,A)= ;
②若點B(b,2),且d(P,B)=5,則b= ;
③已知點C(m,n)是直線上的一個動點,且d(P,C)<3,求m的取值范圍.
(2)⊙F的半徑為1,圓心F的坐標為(0,t),若⊙F上存在點E,使d(E,O)=2,直接寫出t的取值范圍.
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【題目】小王同學在學校組織的社會調查活動中負責了解他所居住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況,他從中隨機調查了50戶居民的月均用水量(單位:t),并繪制了樣本的頻數分布表和頻數分布直方圖(如圖).
月均用水量(單位:t) | 頻數 | 百分比 |
2≤x<3 | 2 | 4% |
3≤x<4 | 12 | 24% |
4≤x<5 |
|
|
5≤x<6 | 10 | 20% |
6≤x<7 |
| 12% |
7≤x<8 | 3 | 6% |
8≤x<9 | 2 | 4% |
(1)請根據題中已有的信息補全頻數分布表和頻數分布直方圖;
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”為中等用水量家庭,請你估計總體小王所居住的小區(qū)中等用水量家庭大約有多少戶?
(3)從月均用水量在2≤x<3,8≤x<9這兩個范圍內的樣本家庭中任意抽取2個,請用列舉法(畫樹狀圖或列表)求抽取出的2個家庭來自不同范圍的概率.
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