【題目】如圖1,在四邊形ABCD的邊BC的延長線上取一點E,在直線BC的同側作一個以CE為底的等腰CEF,且滿足∠B+F180°,則稱三角形CEF為四邊形ABCD伴隨三角形

1)如圖1,若CEF是正方形ABCD伴隨三角

①連接AC,則∠ACF   

②若CE2BC,連接AECFH,求證:HCF的中點;

2)如圖2,若CEF是菱形ABCD伴隨三角形,∠B60°,M是線段AE的中點,連接DMFM,猜想并證明DMFM的位置與數(shù)量關系.

【答案】(1)①90°;②見解析;(2DMFM理由見解析

【解析】

1)①連接AC,利用正方形的性質得到∠ACB=45°,再利用等腰直角三角形的性質得到∠FCE=45°,然后利用∠ACF+ACB+FCE=180°進行求解即可;

②設BCa,則CE2a,利用等腰直角三角形的判定及性質得到AC=EF,然后利用全等三角形的判定及性質以及中點的定義進行求證即可;

2)延長DMBEG,連接FM,FG,根據(jù)△CEF是菱形ABCD的“伴隨三角形”,∠B60°,得到△CEF是等腰三角形,且∠CFE120°,然后利用全等三角形的判定及性質進行求解即可.

解:(1連接AC

四邊形ABCD是正方形

∴∠ACB45°,B90°,

∵△CEF是正方形ABCD伴隨三角形

∴∠B+∠F180°,

∴∠F90°,

∵△CFE是等腰三角形,

∴∠FCE45°,

∴∠ACF180°FCEACB90°,

故答案為:90°;

連接AE,交CF于點H,

CE2BC,

BCa,CE2a,

∵∠B90°ABBCa,

ACa,

∵∠F90°,CE2a,

EFFCa

∵∠ACFF90°,

ACEF

∴△ACH∽△EFH,

,

CHHF,

HCF的中點,

2DMFM,FMDM

理由如下:如圖,延長DMCE于點P,連接DF,FP

四邊形ABCD是菱形

ABBCCDAD,ABCDADBC,

∴∠BDCP60°DAMPEM,

CEF是菱形ABCD伴隨三角形B60°,

∴∠CFE+∠B180°,

∴∠CFE120°,且CEF是等腰三角形,

∴∠ECF30°FEC,CFEF,

∴∠DCF30°

∵∠DAMPEM,AMMEAMDPME,

∴△ADM≌△EPMASA),

ADPEDMMP,

CDPE,且CFEF,DCFFEC30°,

∴△CDF≌△EPFSAS),

DFPF,DFCPFE,

∵∠PFE+∠CFPCFE120°

∴∠DFC+∠CFP120°DFP,且DFFP,DMPM

FMDM,FDM30°

DMFM.

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