Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于圓，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求證：FE=EH．

Answer 1

分析：首先連接AH，由AD⊥BC，BH⊥AC與∠AFE=∠BFD，即可得∠EAF=∠FBD，又由圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠HAC=∠HBC，即可得∠HAE=∠FAE，則可用ASA證得△AEF≌△AEH，繼而證得FE=EH．

解答：證明：連接AH，
∵AD⊥BC，BH⊥AC，
∴∠FDB=∠AEF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠HAC=∠HBC，
∴∠HAE=∠EAF，
∵BH⊥AC，
∴∠AEF=∠AEH=90°，
在△AEF和△AEH中，

∠DAE=∠HAE AE=AE ∠AEF=∠AEH

∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴FE=EH．

點評：此題考查了圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應(yīng)用．